数学中常见矩阵的特点、性质

本文对于自己遇到的、机器人领域涉及到的矩阵做了总结。

以下所有的矩阵都是针对于矩阵A来说的

首先从定义开始对PD和PSD有一个初步的概念：

n ∗ n n*n 的实对称矩阵 A ，若对于任意长度为 n 的非零向量 X X X T A X > 0 X^TAX > 0 恒成立，则矩阵 A 是一个正定矩阵。

n ∗ n n*n 的实对称矩阵 A ，若对于任意长度为 n 的非零向量 X X X T A X ≥ 0 X^TAX ≥ 0 恒成立，则矩阵 A 是一个半正定矩阵。

判断一个矩阵是否为正定矩阵有两种方法：

1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

2、计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

正定矩阵(positive definite, PD) 和半正定矩阵(positive semi-definite, PSD)。

[1] tusamar. 怎么判断一个矩阵是否为正定矩阵？ [EB/OL]. https://zhidao.baidu.com/question/1883273909693964428.html, 2019-10-22/2021-08-08. [2] marsggbo. 如何理解正定矩阵和半正定矩阵 [EB/OL]. https://zhuanlan.zhihu.com/p/81169491, 2019-09-14/2021-08-08.

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =I（ I是单位矩阵），则称 A 是可逆的，也称 A 为非奇异矩阵

可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。

方阵的行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。

[1] wongHome. 奇异矩阵与非奇异矩阵 [EB/OL]. https://blog.csdn.net/qq_39779233/article/details/119334598, 2021-08-02/2021-08-06.

正交矩阵: Orthogonal Matrix (必为方阵)

A A T = A T A = I AA^T = A^TA = I A T = A − 1 A^T = A^{-1}

∣ A ∣ = 1 或 − 1 |A|=1或 -1

[1] 我在呀. 正交矩阵（Orthogonal Matrix） [EB/OL]. https://blog.csdn.net/qq_44884706/article/details/89489189, 2019-04-24/2021-08-08.

奇异矩阵和非奇异矩阵行列式矩阵简单理解代数意义几何意义行列式的定义：二阶行列式的几何意义：三阶行列式的几何意义：行列式化为对角形的几何解释：二阶行列式乘积项的几何意

，由 DeepSeek-R1 满血版支持，

也就是说有你是正常的，不是奇异的；

N阶行列式的超平行多面体的几何图形是由行(或列)向量张成的，而且这个n维超平行多面体与一个n维超长方体等体积。

矩阵乘法规则看起来比较复杂，不容易理解其乘法规则背后隐含的意义。现举一个例子说明矩阵乘法的意义。如下图所示，一个商店出售Beef pie，chicken pie，vegetable pie，其单价分别为3元ÿ

可逆矩阵与奇异矩阵

$A$ 为  $n$  阶方阵 ，若存在  $n$  阶矩阵  $B$  ，使得矩阵  $A、B$  的乘积为单位阵，则称  $A$  为可逆阵，$B$  为  $A$  的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

设  $P$  是数域，  $A in P^{n imes n}$  ，若存在  $B in P^{n imes n}$  ，使得  $A B=B A=E$ ， $E$  为单位阵，则称  $A$  为可逆阵， $ B$  为  $A$  的逆矩 阵，记为  $B=A^{-1}$  。若方阵  $A$  的逆阵存在，则称  $A$  为可逆矩阵或非奇异矩阵。 

若  $A$  为可逆矩阵，则  $A$  的逆矩阵是唯一的。

设  $A 、 B$   是数域  $P$   上的  $n$   阶矩阵， $k in P$  。

若  $A$   可逆，则   $A ^{-1} 和 A^{T}$   也可逆，且  $left(A^{-1} ight)^{-1}=A ，left(A^{T} ight)^{-1}=left(A^{-1} ight)^{T}$ ;

若  $A$   可逆，则 $k A$  可逆  $Leftrightarrow k eq 0$  ，且  $(k A)^{-1}=rac{1}{k} A^{-1} $;

$A 、 B$   均可逆  $Leftrightarrow(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1} $。

判断或证明  $A$  可逆的常用方法:

证明 $|A| eq 0$ ；

找一个同阶矩阵 $B$ ，验证 $A B=B A=E$ ；

证明 $A$ 的行向量 (或列向量) 线性无关。

求   $A^{-1}$  的方法:

公式法:  $A^{-1}=rac{1}{|A|} A^{*}$  ，其中   $A^{*}$  为矩阵  $A$  的伴随矩阵。

初等变换法: 对  $( A E) $  作初等变换，将  $A$  化为单位阵  $E$  ，单位矩阵  $E$  就化为  $A^{-1}$ 。

，也就是可逆矩阵。意思是 $n$ 阶方阵 $A$ 是非奇异方阵的充要条件是 $A$ 为可逆矩阵，也即 $A$ 的行列式不为零。 即矩阵（方阵） $A$ 可逆与矩阵 $A$ 非奇异是等价的概念。

$n$  阶方阵  $A$  是非奇异方阵的充要条件是 $A$  为 ，也即  $A$  的 不为零。 即矩阵（方阵）$A$  可逆与矩阵 $A$  非奇异是等价的概念。

对一个  $n$  行 $n$  列的非   $A$，如果存在一个矩阵  $B$  使 $AB = BA =E$（ $E$  是 ），则称  $A$  是可逆的，也称  $A$  为非奇异矩阵，此时  $A$  和  $B$  互为逆矩阵。

一个非奇异矩阵可表示成若干个初等矩阵之积。

一个矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。

一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

当且仅当它的每个特征值都大于零。

一个矩阵非奇异当且仅当它的秩为n

$AX=b$  有唯一解

$AX=0$  有且仅有零解

如果  $n$  阶方阵  $A$  奇异，则一定存在一个  $n*1$  阶非零向量  $X$  使： $X'AX=0$；成立

首先，看这个矩阵是不是方阵（即行数和列数相等的矩阵，若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和 |A|是否等于  $0$，若等于 $0$  ，称矩阵   $A$  为奇异矩阵；若不等于  $0$ ，称矩阵  $A$  为非奇异矩阵。 同时，由  $|A|≠0$  可知矩阵  $A$  可逆，这样可以得出另外一个重要结论: 就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。 如果  $A$  为奇异矩阵，则  $AX=0$  有无穷解，$AX=b$  有无穷解或者无解。如果  $A$  为非奇异矩阵，则  $AX=0$  有且只有唯一 ，$AX=b$  有唯一解。

非奇异矩阵还可以表示为若干个初等矩阵的乘积

如果    $A_{n×n}$   为奇异矩阵（singular matrix）<=> $A$ 的秩 $Rank(A)<n$.

如果   $A_{n×n}$   为非奇异矩阵（nonsingular matrix）<=> $A$ 满秩，$Rank(A)=n$ .

一个方阵非奇异当且仅当它代表的

一个矩阵半正定当且仅当它的每个

当且仅当它的每个特征值都大于零。

2021-12-13 10:22