奇异矩阵的定义

奇异矩阵与非奇异矩阵

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若n阶矩阵A的行列式不为零，即 |A|≠0，则称A为

n 阶方阵 A 是非奇异方阵的充要条件是 A 为 不为零。 即矩阵（方阵）A可逆与矩阵A非奇异是等价的概念。

A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（ E是 ），则称 A 是可逆的，也称 A 为非奇异矩阵，此时A和B互为逆矩阵。

一个矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。

一个矩阵非奇异当且仅当它的秩为n

如果n 阶方阵A奇异，则一定存在一个n*1阶非零向量X使： X'AX=0；成立

注意：若A为非奇异矩阵，其顺序主子阵Ai（i=1,...,n-1）不一定均非奇异

奇异矩阵是线性代数的概念，就是对应的行列式等于0的矩阵。

奇异矩阵的判断方法：首先，看这个矩阵是不是方阵（即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵）。 然后，再看此方阵的行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。 同时，由|A|≠0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。

n 阶方阵 A 是非奇异方阵的充要条件是 A 可逆，即

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =I（ I是单位矩阵），则称 A 是可逆的，也称 A 为非奇异矩阵。 

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数学中常见矩阵的特点、性质

本文对于自己遇到的、机器人领域涉及到的矩阵做了总结。

以下所有的矩阵都是针对于矩阵A来说的

首先从定义开始对PD和PSD有一个初步的概念：

n ∗ n n*n 的实对称矩阵 A ，若对于任意长度为 n 的非零向量 X X X T A X > 0 X^TAX > 0 恒成立，则矩阵 A 是一个正定矩阵。

n ∗ n n*n 的实对称矩阵 A ，若对于任意长度为 n 的非零向量 X X X T A X ≥ 0 X^TAX ≥ 0 恒成立，则矩阵 A 是一个半正定矩阵。

判断一个矩阵是否为正定矩阵有两种方法：

1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

2、计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

正定矩阵(positive definite, PD) 和半正定矩阵(positive semi-definite, PSD)。

[1] tusamar. 怎么判断一个矩阵是否为正定矩阵？ [EB/OL]. https://zhidao.baidu.com/question/1883273909693964428.html, 2019-10-22/2021-08-08. [2] marsggbo. 如何理解正定矩阵和半正定矩阵 [EB/OL]. https://zhuanlan.zhihu.com/p/81169491, 2019-09-14/2021-08-08.

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =I（ I是单位矩阵），则称 A 是可逆的，也称 A 为非奇异矩阵

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奇异值分解的目标

奇异值分解（Singular value decomposition）简称SVD，是将矩阵分解为特征值和特征向量的另一种方法。奇异值分解可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵相乘来表示，这些小矩阵描述的都是矩阵的重要的特性。奇异值分解在图形降噪、推荐系统中都有很重要的应用。

，都可以奇异值分解成下面的形式，其中

是正定矩阵，它的奇异值分解就是进行奇异值分解，不需要两个。对于可对角化的矩阵来说，

是m×n的矩阵，四个基本子空间的正交性可以用下图表示，其中r是矩阵的秩：

看作一种线性变换操作，将其行空间中的每一个向量。类似地，我们也可以在行空间中找到一组正交基，通过矩阵线性变换成列空间中的另一组正交基：

行空间中的一组正交基可以通过格拉姆-施密特正交化得到——任意一组基都可以通过格拉姆-施密特正交化变成一组正交基，但是随便一组正交基经过矩阵的线性变换后的向量却未必正交，因此这组满足要求的正交基非常特殊，它们需要满足：

的倍数，称为奇异值。上式就是奇异值分解的目标：寻找行空间的一组标准正交基，通过

我们已经知道奇异值分解的目标是，现在的问题是怎样找到合适的正交矩阵

是一个对称方阵，并且符合正定矩阵正交分解的形式，

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